정의
- 유클리드 호제법 또는 유클리드 알고리즘은 2개의 자연수 또는 정식의
최대공약수를 구하는 알고리즘의 하나이다.
- 호제법이란 말은 두 수가 서로 상대방 수를 나누어서 결국 원하는 수를 얻는 알고리즘을 나타낸다.
- 2개의 자연수 a, b에 대하여 a를 b로 나눈 나머지를 r이라 하면 (단, a > b),
a와 b의 최대공약수는 b와 r의 최대공약수와 같다.
- 위의 성질에 따라, b를 r로 나눈 나머지 r'를 구하고, 다시 r을 r'로 나눈 나머지를 구하는 과정을 반복하여
나머지가 0이 되었을 때 나누는 수가 a와 b의 최대 공약수이다.
※ 출처: 위키백과/유클리드 호제법
예제(간단)
- 60과 42의 최대 공약수를 구해보자.
1. GCD(60, 42)
60 % 42 = 18
2. GCD(42, 18)
42 % 18 = 6
3. GCD(18, 6)
18 % 6 = 0
==> GCD(60, 42) = 6
최소공배수 구하기
최대공약수는 유클리드 호제법을 통하여 구할 수 있었다.
그렇다면 최소공배수는 어떻게 구할 수 있을까??
매우 간단하다.
두 자연수 a, b의 최대공약수를 유클리드 호제법을 통하여 구했다면,
두 자연수의 곱 = 최대공약수와 최소공배수의 곱의 성질을 이용하여 쉽게 구할 수 있다!
a * b = 최대공약수 * 최소공배수
최소공배수 = a * b / 최대공약수
코드로 표현하기
두 자연수 a, b가 주어졌을 때
최대공약수와 최소공배수를 각각 구하는 코드이다.
#include <iostream>
using namespace std;
int gcd(int a, int b){
int r = a % b;
while(r > 0){
a = b;
b = r;
r = a % b;
}
return b;
}
int main() {
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int a, b;
cin>>a>>b;
cout<<gcd(a, b)<<"\n";
cout<<a * b / gcd(a, b);
return 0;
}